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在七年级“数学报”第一期上,刊登了这样一道怪题:
以前,美国举行了一次“全美数学能力测验”,有83万中学生参加,其中有这样一道题:有个三棱锥和一个正四棱锥,他们的棱长都相得,问他们重叠一个侧面后,还露出几个面?标准答案是七个面,因为两锥分开时有4+5=9(个)面。当他重叠一个面后,有两个面被遮住了,所以标答案是七个面。可是一位十七岁的中学生丹尼尔的回答却是五个面,阅卷者当然判他错。丹尼尔为了证明自己的结论是对的,回家后做了个模型,当他把这个模型交给老师时,老师不得不承认丹尼尔的结论也是对的。
从上面似乎可以得知,有两个标准答案:一是原来的标准答案七个。二是丹尼尔的答案五个。我回家也做了两个模型,一推演,发现只要是在三棱锥和四棱锥棱长相等的特殊情况下,三棱准和四棱锥的侧面拼合起来时,不仅有连个面被遮住了,还有两对两个面恰好重合成了一个面的情况。所以应是9-2-2=5(个)面
单新的问题又来了,按照上面的推法,正三棱锥和正四棱锥侧面拼合后就不能是7个面了,也就是原来的标准答案错了。我又仔细读了读题,发现以下三点构成了一个特例:
1·正四棱锥
2·它们的棱长相等(即底棱和侧棱都相等,并和上一条构成了特殊的正四棱锥和正三棱锥的形状)
3·侧面(限定了贴合方式)
只要有以上三点,就一定是5个面,而不能使7个面。
看来还真是“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”呀!